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第一题是一道代数题,an是一道多项式之和,求证:当正整数n≥2时,a(n+1)<an。
刚看见这题的时候,陆时羡还有些没有思路,于是一下子就顿在那里了。
毕竟纯粹的代数题,非常考验人的逻辑联系思维能力。
难道连第一道证明题都做不出来?这已经是最简单的了。
陆时羡忽然紧张起来,如果连第一题都做不出来,绝对是对他后面题目解答的一个巨大打击。
他轻吐一口气,慢慢迫使自己平静下来。
越是紧张越不能着急。
陆时羡再次审题,忽然发现自己陷入了一个误区,证明这种比大小的题目,何必将其分别代入后再比呢?
他只需要转换一下思维方式。
a与b比大小也可以转换成a与b比差或者a与b比商。
如果a-b最后的结果大于零,或者ab的结果大于1,那就可以说明a大于b.
想到这,陆时羡的眼睛越来越亮。
他在草稿纸上飞快地验算,对于an式,可以利用乘法分配律将n+1单独分离出来。
再得出对任意的正整数n≥2,an-a(n+1)最后的简化式。
最后证明简化式大于零。
故a(n+1)<an。
此题得证。
将这道题解决,陆时羡长松一口气,开始看下一题。
第二题是一道平面解析几何。
题目大意是对勾函数和一条直线得到的两个交点,然后求交点在对勾函数上两条切线的交点轨迹是多少?
不得不说,如果逻辑思维能力不够,光是看题目就足够让你看晕了。
不过说起来,这种题还是陆时羡的强项,他在数学里最擅长的就是将图形转化成代数。
无非就是求交点的坐标。
根据给出的条件联立方程组,由题意知,该方程在(0,+∞)上有两个相异的实根x1、x2,故k≠1,且Δ(1)式=1+4(k?1)>0,两个实根之和(2)式与之积(3)式都大于零。
由此可以得出直线的斜率k的取值范围,最后对对勾函数进行求导
化简得到直线l1和l2的方程(4)式和(5)式
(4)式-(5)式得xp的函数表达式(6)式
将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2
(4)式+(5)式得yp的函数表达式(7)式
将(2)(3)的组合式代入(7)式得2yp=(3?2k)xp+2,而xp=2,得yp=4?2k
根据斜率k的取值范围2<yp<2.5
即点p的轨迹为(2,2),(2,2.5)两点间的线段(不含端点)
陆时羡写完这题,考试时间已经只剩下四十分钟了。
第二道大题还真的不难,思路很简单,就是计算过程有些复杂,同时也比较费时间,光这一个题目就花了他几十分钟。
来不及吐槽,陆时羡赶紧望向第三大题,
设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)。
求证:存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足:
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